Une stratégie pour choisir et organiser les essais afin de répondre à une question scientifique, avec les moyens disponibles.

Comprendre quels réglages agissent, prévoir une réponse sous hypothèses, puis améliorer un procédé.

On prépare les comparaisons avant de mesurer : le plan détermine ce que l’on pourra apprendre.

Un procédé ne livre pas spontanément les causes de ses variations.

En soudure : modifier la vitesse ou le mélange gazeux peut changer le nombre de défauts. Il faut des mesures pour savoir comment.

Une comparaison bien choisie met une hypothèse à l’épreuve. Une mesure isolée décrit un résultat.

La bonne stratégie dépend de l’objectif, du budget et du risque acceptable.

Nous apprendrons à dire ce que les observations permettent de conclure — et ce qu’elles ne permettent pas encore de conclure.

Notre question : la température et la durée modifient-elles chacune le rendement ?

Pour le savoir, il faut pouvoir comparer deux températures à durée identique, puis deux durées à température identique.

Vous proposez et testez ; nous expliquons ensuite les notions et les calculs ensemble.

Gardez les slides et M1 ouverts. Le laboratoire s’ouvre sur consigne, puis nous revenons au collectif.

Passons à un cas concret : extraire un pesticide d’un échantillon.

Nous cherchons à savoir si chauffer davantage améliore le rendement, et si prolonger l’extraction change ce gain.

Vous choisissez la température entre 40 et 60 °C et la durée entre 1 et 2 h. Après chaque extraction, on mesure le rendement récupéré (%).

Budget : quatre extractions. Avant de les choisir, identifions ce que nous réglons et ce que nous mesurons.

Exemple : régler à 60 °C pendant 1 h, appliquer le protocole, puis mesurer le rendement.

La température et la durée sont choisies avant l’essai. Le rendement n’est connu qu’après la mesure.

Pour comparer deux extractions, on conserve le même protocole et on précise les réglages qui changent.

Un facteur peut influencer la réponse. Ici nous en choisissons deux à étudier et leurs niveaux, dans un domaine réalisable.

Un facteur parasite influence potentiellement le résultat sans être celui étudié. Maintenir ce qui peut l’être, consigner les changements ; organiser l’ordre des essais sera approfondi en séance 3.

Nous voulons comparer l’effet de deux réglages sur le rendement.

1. Reconnaître les réglages, le résultat mesuré et les limites autorisées.
2. Choisir quatre essais et expliquer quelles comparaisons ils permettent.
3. Proposer une prévision à un réglage non mesuré, en disant sur quelle hypothèse elle repose.

Décision : changer un réglage. Risque : attribuer au réglage une différence due au bruit ou au lot d’échantillon.

Commençons avec M1 : le petit exercice de lecture. Le choix du plan viendra ensuite.

Le prochain exercice sert à distinguer une décision expérimentale d’un résultat.

Décision : choisir 60 °C et 1 h. Résultat : lire 34 % de rendement après l’extraction.

Nous n’avons pas encore à trouver le meilleur réglage. Nous apprenons à décrire un essai pour pouvoir le comparer à un autre.

Sur la slide suivante, identifiez les nombres choisis et le nombre mesuré.

Puis vérifiez une proposition : respecte-t-elle les deux limites du domaine ?

Température autorisée : 40 à 60 °C. Durée autorisée : 1 à 2 h.

M1 → « Petits exercices ». Répondez seul, comparez à deux, puis nous corrigeons ensemble.

Comment comparer l’effet de la température sans le confondre avec celui de la durée ?

1. En groupes de 3 ou 4, choisissez quatre couples dans le domaine autorisé.
2. Représentez-les dans M1 ; repérez deux essais dont un seul réglage change.
3. Expliquez ce que cette comparaison permettra d’apprendre, puis ce qui restera inconnu.

Laboratoire → Enquête : étape 1, identifier ; étape 2, lire le domaine ; étape 3, saisir vos quatre essais. Revenez ensuite au collectif, sans chercher de solution automatique.

Que permet de comparer chaque stratégie ? Qu’est-ce qui restera difficile à séparer ?

Nos essais sont choisis. Pour écrire leurs contributions dans une même équation, utilisons des repères communs.

Le code indique où l’on est entre les bornes. Il change l’écriture, sans changer le réglage physique ni le rendement.

Centre : 50 °C et 1,5 h. Pas du centre au niveau haut : 10 °C et 0,5 h.

M1 : codez un essai de votre plan. Laboratoire → Enquête → étape 5 : vérifiez le code de 55 °C. Puis revenez aux slides.

Nous savons décrire et choisir des essais. Peut-on maintenant prévoir une réponse sans refaire l’extraction ?

À durée fixée à 1 h, deux mesures d’archives sont disponibles :

Proposez une valeur à 50 °C et dites quelle évolution vous supposez entre 40 et 60 °C.

Ces archives servent à cet exemple de prévision ; ce ne sont pas les données des laboratoires A et B.

Si vous avez proposé 27 %, vous avez supposé une augmentation régulière du rendement.

Ce raisonnement mental est déjà un modèle : « le même degré supplémentaire apporte le même gain ». La formule écrit cette hypothèse.

Le gain supposé par degré est 14 / 20 = 0,7 point/°C.

À 50 °C : 20 + 0,7 × 10 = 27 %. Le chapeau signifie « valeur prévue ».

Laboratoire → Enquête, dernière étape : noter 27 % et l’hypothèse, révéler, puis revenir aux slides. Un seul écart ne démontre pas une courbure.

Choisir des essais permet de comparer. Un modèle permet ensuite de calculer une prévision.

Notre règle à gain constant n’était pas donnée par les deux mesures : nous l’avons supposée.

Avant de revenir aux deux réglages de l’extraction, essayons un problème plus simple : trois masses inconnues, dont les contributions s’additionnent physiquement.

Sur une balance, quelles combinaisons faut-il mesurer pour séparer les trois masses ?

La balance affiche la masse totale des objets posés ensemble. Elle est tarée, mais ses lectures fluctuent légèrement.

Trois objets A, B et C. Un exemplaire de chaque objet. Budget initial : trois pesées pour estimer leurs trois masses.

Ne devinez pas les masses sans donnée. Choisissez les objets et dites seulement ce que vous mesurez : une masse seule, ou une somme.

Ouvrir le laboratoire → Balances → Phase 1. Choisir, peser, noter. Les solutions restent cachées ; le mode sans bruit servira ensuite à expliquer les équations.

Comparez vos totaux avec une autre équipe avant d’ouvrir les équations.

1. Quelles masses pouvez-vous réellement retrouver ?
2. Des pesées différentes peuvent-elles répéter la même information ?
3. Quelle pesée changeriez-vous ? Pourquoi ?

Laboratoire : « Comparer nos stratégies avant la solution ». Notez votre conclusion, puis revenez aux slides. M1 : tableau des pesées.

Exemple sans bruit pour expliquer les équations. Dans vos pesées bruitées, les masses calculées sont des estimations.

Trois inconnues exigent au moins trois équations indépendantes dans ce modèle linéaire idéal.

Exemple sans bruit pour expliquer les équations. Dans vos pesées bruitées, les masses calculées sont des estimations.

X m = y : les combinaisons sont connues, les masses sont cherchées. Une ligne par pesée, une colonne par inconnue.

Les premières lectures étaient déjà bruitées. Isolons maintenant cette variation en gardant toujours A + B.

La masse posée ne change pas. La lecture peut changer. Que devrait apporter la moyenne de plusieurs lectures ?

Laboratoire → Balances → Phase 2 · Répéter. Répétez A + B au moins trois fois, observez la dispersion, puis révélez l’explication. Aucune prévision numérique n’est demandée.

Répéter stabilise la moyenne d’une somme ; cela ne sépare pas les masses qui restent confondues.

Le bruit fait fluctuer les observations. Le biais décale leur moyenne. Répéter réduit la fluctuation de la moyenne, pas le défaut de tare.

Séparer les masses ne suffit pas : nous voulons aussi des estimations qui varient peu sous bruit.

1. Ouvrez « Phase 3 · Comparer les stratégies », accessible en haut du laboratoire.
2. Choisissez « Chaque objet deux fois », puis réalisez les six pesées.
3. Essayez « Chaque paire deux fois » avec le même budget. Comparez les estimations.
4. Après l’échange en groupe, révélez les campagnes répétées pour juger leur dispersion.

Une seule campagne ne permet pas de dire sûrement quelle stratégie est la plus précise.

Les masses estimées changent quand on recommence les six pesées.

Après la comparaison entre groupes : « Comparer la dispersion sur 200 campagnes virtuelles ». Chaque point du nuage est une estimation issue d’une campagne complète.

Même budget de six pesées, même rang 3, précisions différentes. Résultats sous erreurs indépendantes, σ = 2 g, tare connue.

Une nouvelle pesée n’est pas forcément une nouvelle direction. Une répétition peut être utile sans ajouter de direction.

Retour aux slides : comparons maintenant les contributions de deux réglages. Nous reviendrons aux matrices dans C.

Un rang complet permet de séparer les inconnues du modèle. Il ne garantit ni sa validité physique, ni une bonne précision.

Sur la balance, la masse de A + B est physiquement la somme des masses.

Pour un rendement d’extraction, rien ne garantit que « chauffer davantage » et « attendre davantage » apportent deux gains indépendants.

Notre nouvelle question : le gain obtenu en chauffant est-il le même après 1 h et après 2 h ?

Deux réglages possibles par facteur : 40 ou 60 °C ; 1 ou 2 h. Cela donne quatre combinaisons.

Une équipe propose trois essais : le départ (40 °C, 1 h), puis changer seulement la température, puis seulement la durée.

L’autre veut aussi mesurer (60 °C, 2 h), où les deux réglages sont au niveau haut.

Peut-on économiser le quatrième essai en additionnant les deux gains ? Quelle hypothèse cela demande-t-il ?

M1 → Mission A : choisir une stratégie, puis préparer l’argumentation avec votre fiche. Enveloppes fermées.

Avec votre fiche, dessinez les points mesurés. Préparez un avantage, une limite et l’hypothèse nécessaire pour prévoir le point manquant.

Échangez entre les groupes du même cas A ou B. Cherchez l’hypothèse et une objection. Gardez les enveloppes fermées.

Nous ne refaisons pas la prévision : nous la comparons maintenant à la mesure qui manquait.

L’addition des gains ne restitue pas ces résultats exactement. Pour comprendre pourquoi, comparons graphiquement le gain de température à chaque durée.

Ouvrir les enveloppes, noter le quatrième résultat dans M1, puis suivre les graphiques ensemble.

Sur l’échelle du rendement, le gain de température dépend de la durée : les segments ne sont pas parallèles.

Avec du bruit, un léger non-parallélisme ne suffit pas à prouver une interaction. Deux niveaux ne renseignent pas sur la courbure entre les niveaux.

Prévision = valeur au centre + contribution température + contribution durée.

Dans ce modèle, le gain d’un facteur ne dépend pas du niveau de l’autre. C’est une hypothèse, pas un résultat garanti.

Les contributions ne s’ajoutent pas toujours indépendamment. Nous construirons en C la colonne x₁x₂ pour représenter cette dépendance.

Réponse : nombre de soufflures à réduire. Comparons six essais « un facteur à la fois » à quatre essais combinés : réponses 22, 8, 35 et 27.

Les poids retrouvés sont 5,5 ; −8 ; −1,5. Une combinaison efficace des essais n’établit pas, à elle seule, que les interactions sont nulles.

Approfondir : calculer les poids des facteurs

Un modèle peut manquer un terme. Mais même un modèle simple reste inutilisable si les essais ne séparent pas ses coefficients.

Deux observations au centre améliorent la lecture de la dispersion, mais ne créent pas une seconde direction.

Changer l’attribution entre b₁ et b₂ sans changer leur somme laisse toutes les prévisions du journal inchangées.

Ouvrez le journal dans le laboratoire. Étape 1 du parcours guidé. Comparez les codes, puis revenez à M1.

Les trois modèles décrivent les données aussi bien. Un bon ajustement ne suffit pas à choisir l’explication.

Cette condition permettrait de départager les modèles. Quelle expérience proposez-vous dans M1 ?

Justifiez votre proposition avant toute nouvelle mesure.

Pour le modèle additif, les coefficients deviennent séparables. Cet essai ne suffit pas à valider la forme du modèle ni sa précision.

Parcours guidé B · choisir une condition hors diagonale

Choisissez les codes (+1, −1), préparez l’essai, puis continuez pour révéler la mesure. Dans M1 : qu’ajoute cette comparaison, que ne vérifie-t-elle pas ?

La valeur 37 % est celle du cas fourni. Les tirages simulés avec du bruit peuvent être différents.

Plusieurs modèles expliquent le journal. Écrivons les calculs pour voir exactement pourquoi les effets se confondent.

Les coefficients sont communs. Seuls les multiplicateurs 1, −1 et +1 changent selon l’essai.

X est une matrice 4 × 3. Les rendements mesurés restent séparés, dans y.

Multiplier chaque multiplicateur par son coefficient, puis additionner les trois produits.

Avec b₀ = 40, b₁ = 8 et b₂ = 10, calculez les essais 2, 3 et 4 dans M1.

Laboratoire → C · étapes 1 et 2 : vérifiez une ligne et vos prévisions. Comparez vos calculs en binôme. Les réponses apparaîtront sur la diapositive suivante.

Les dimensions se raccordent : trois multiplicateurs par ligne pour trois coefficients. Quatre lignes produisent quatre prévisions.

Pour chaque essai : résidu = mesure − prévision. Les traits orange montrent les écarts.

Les moindres carrés cherchent les coefficients qui minimisent la somme des carrés, pour le modèle choisi.

yᵢ : une mesure · (Xβ)ᵢ : la prévision correspondante.

On change les coefficients, on recalcule les prévisions et la somme des carrés, puis on retient le minimum.

Un petit résidu ne prouve pas la validité du modèle. Un résidu peut refléter du bruit ou un terme oublié.

X : 4 × 3. Xᵀ : 3 × 4. Aucun nombre ne change ; la colonne température devient la deuxième ligne.

Choisir deux colonnes de X, multiplier les nombres ligne par ligne, puis additionner. Ce produit remplit une case.

Le produit scalaire vaut zéro : ces deux colonnes sont orthogonales. Ce n’est pas une multiplication case par case de deux matrices.

Une case diagonale contient la somme des carrés d’une colonne.

Chaque case apparaît avec la flèche →. Au final : diagonale 4, produits croisés 0, donc XᵀX = 4I₃.

Au minimum des carrés, les résidus sont orthogonaux aux colonnes de X. Le laboratoire résout ces équations normales.

Nous voulons minimiser S(β) = ‖y − Xβ‖². Pour une colonne xⱼ, faisons varier seulement son coefficient.

Le minimum est unique si X a son rang complet. Développement complet : F0, section 8.

X : essais et termes connus.
Xᵀy : produits entre colonnes et mesures.
(XᵀX)⁻¹ : inverse, s’il existe.

Il faut des colonnes indépendantes : rang(X) = nombre de coefficients. L’inverse n’existe pas pour le journal confondu. Aucun calcul manuel d’inverse n’est demandé.

Produits croisés nuls : pas de mélange entre coefficients dans ces équations.

SCR = 4. Sans bruit ajouté, les écarts viennent ici de l’interaction omise. Orthogonal ne signifie pas que le modèle est validé.

Modèle correct, erreurs centrées de covariance σ²I, X connu de rang complet. La normalité n’est pas nécessaire. F0 §9 détaille la démonstration.

Une infinité de couples donnent les mêmes prévisions. Même sans bruit, ces essais ne permettent pas de les départager.

Le rang dépend du plan et des termes du modèle, pas des rendements observés.

Parcours C · étape 4 · modèle additif

Dans M1 : relevez le nombre de lignes, le nombre de colonnes et le rang. Expliquez pourquoi six mesures ne suffisent pas ici.

Rang complet : coefficients séparables pour ce modèle. Cela ne garantit ni précision suffisante, ni modèle adapté.

Nous savons reconnaître une information manquante. Comment choisir les essais supplémentaires qui répondent à notre question ?

Comptez dans M1 : essais, conditions différentes, répétitions. Quelles informations chaque plan peut-il apporter ?

Répéter signifie refaire le protocole sur une nouvelle unité expérimentale, pas relire la même mesure.

Les lignes répétées reproduisent les mêmes multiplicateurs. Le quatrième coin ajoute une combinaison absente.

Quatre termes à séparer. P3 a davantage de mesures que P4, mais le rang reste 3. Le nombre d’essais ne suffit pas.

On n’ajoute aucune colonne indépendante ; on stabilise les estimations et on observe la répétabilité.

« Informatif » dépend de la question. Le rang mesure l’identifiabilité d’un modèle ; il ne résume ni la précision ni la vérification de ce modèle.

Laboratoire → D : comparer les plans, puis les rangs avec interaction. Pour l’additif, les deux ont déjà le rang 3.

Erreurs non corrélées de même variance. La précision dépend de la disposition et du nombre de mesures ; répéter reste utile.

Approfondir : précision et matrices d’Hadamard

Les outils Pareto et normal/half-normal servent à hiérarchiser des candidats. Un facteur non significatif n’est pas démontré sans effet.

Approfondir : criblage et interprétation des résultats